Analyse Fonctionnelle et théorie des opérateurs
Contenu du cours :Analyse Fonctionnelle et théorie des opérateurs
Chapitre 1 : Opérateurs bornés :
1.1. Adjoint d'une application linéaire continue.
1.2. Opérateurs normaux, unitaires, positifs.
1.3. Spectre des applications linéaires continues.
1.4. Exercices.
Chapitre 2 : Opérateurs compacts :
2.1. Applications linéaires compactes.
2.2. Théorie spectrale des opérateurs compacts.
2.3. Exercices.
Chapitre 3 : Algèbres de Banach :
3.1. Introduction.
3.2. Inversibilité et spectre.
3.3. Idéaux et caractères d'une algèbre de Banach.
3.4. Les algèbres quotients.
3.5. Idéaux maximaux.
3.6. Applications : l'algèbre des fonctions continues sur un compact et l'algèbre de Wiener.
3.7. La transformation de Gelfand.
3.8. Exercices.
Chapitre 4 : Le calcul fonctionnel holomorphe :
4.1. Aspect algèbrique : calcul fonctionnel rationnel.
4.2. Définition du calcul fonctionnel holomorphe.
4.3. Propriété du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz.
4.4. Exercices.
Chapitre 5 : Le calcul fonctionnel continu :
5.1. Introduction aux C* algèbres.
5.2. Le théorème de Gelfand-Naimark.
5.3. Le calcul fonctionnel pour les normaux.
5.4. Mesures spectrales.
5.5. Le théorème spectral.
5.6. Exercices.
Chapitre 6 : Appendice A : Quelques résultats classiques d'analyse fonctionnelle.
6.1. Produits de Cauchy de séries.
6.2. Quelques grands principes d'analyse fonctionnelle (Hahn-Banach, Banach-Steinhauss, inversibilité à gauche).
6.3. Supplémentaires topologiques.
6.4. Ensembles compacts et relativement compacts.
6.5. Topologie faible et faible *.
6.6. Espaces séparables et réflexifs.
Chapitre 7 : Appendice B : Quelques compléments d'analyse complexe.
7.1. Rappels d'analyse complexe.
7.2. Fonctions réglées à valeurs vectorielles.
7.3. Fonctions holomorphes à valeurs vectorielles.
Chapitre 1 : Opérateurs bornés :
1.1. Adjoint d'une application linéaire continue.
1.2. Opérateurs normaux, unitaires, positifs.
1.3. Spectre des applications linéaires continues.
1.4. Exercices.
Chapitre 2 : Opérateurs compacts :
2.1. Applications linéaires compactes.
2.2. Théorie spectrale des opérateurs compacts.
2.3. Exercices.
Chapitre 3 : Algèbres de Banach :
3.1. Introduction.
3.2. Inversibilité et spectre.
3.3. Idéaux et caractères d'une algèbre de Banach.
3.4. Les algèbres quotients.
3.5. Idéaux maximaux.
3.6. Applications : l'algèbre des fonctions continues sur un compact et l'algèbre de Wiener.
3.7. La transformation de Gelfand.
3.8. Exercices.
Chapitre 4 : Le calcul fonctionnel holomorphe :
4.1. Aspect algèbrique : calcul fonctionnel rationnel.
4.2. Définition du calcul fonctionnel holomorphe.
4.3. Propriété du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz.
4.4. Exercices.
Chapitre 5 : Le calcul fonctionnel continu :
5.1. Introduction aux C* algèbres.
5.2. Le théorème de Gelfand-Naimark.
5.3. Le calcul fonctionnel pour les normaux.
5.4. Mesures spectrales.
5.5. Le théorème spectral.
5.6. Exercices.
Chapitre 6 : Appendice A : Quelques résultats classiques d'analyse fonctionnelle.
6.1. Produits de Cauchy de séries.
6.2. Quelques grands principes d'analyse fonctionnelle (Hahn-Banach, Banach-Steinhauss, inversibilité à gauche).
6.3. Supplémentaires topologiques.
6.4. Ensembles compacts et relativement compacts.
6.5. Topologie faible et faible *.
6.6. Espaces séparables et réflexifs.
Chapitre 7 : Appendice B : Quelques compléments d'analyse complexe.
7.1. Rappels d'analyse complexe.
7.2. Fonctions réglées à valeurs vectorielles.
7.3. Fonctions holomorphes à valeurs vectorielles.
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