Statistique mathématique pour le Master 1
Table des matières DE cours
1 Modélisation statistique .................5
1.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Principe fondamental de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Modèle statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Domination dans un modèle statistique . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Construction des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Principes de l’inférence statistique 17
2.1 Critères de performance en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Critères de performance asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Vraisemblance 29
3.1 Le concept de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Consistance de l’EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Information de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Normalité asymptotique de l’EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Classification des statistiques 43
4.1 Estimateurs efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Statistiques exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Statistiques complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Test statistique 55
5.1 Problème de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Erreurs d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Comparaison des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Optimalité dans les tests simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Optimalité dans les tests composites . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Statistique des échantillons gaussiens 69
6.1 Projection de vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Tests sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Comparaison de 2 échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Modèle linéaire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.1 Le problème et sa formulation vectorielle . . . . . . . . . 74
6.4.2 Statistique de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
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