Géométrie différentielle élémentaire
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| Géométrie différentielle élémentaire |
Table des matières
1 Introduction
2 Variétés différentielles..........................6
2.1 Variétés
topologiques . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sous-variétés de Rn . . . . . . . . . . .
. 11
2.3 La catégorie des
variétés différentielles . . . .. . . . . . 13
2.4 Exemples de
variétés différentielles .. . . . . . . . . . 19
2.5 Autres exercices .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 38
2.6 Indications pour
la résolution des exercices . . . . . .. . . 47
3 Fibrés vectoriels...................64
3.1
Sous-espaces tangents d’une sous-variété de R釜釙. . . 64
3.2
Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 66
3.3 Fibré
tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69
3.4
Application tangente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 71
3.5
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 74
3.6
Fibrations . . . . . . . . . . . . . .. . . 77
3.7 Le
fibré des formes alternées . . . . . . . .. . . . . . . . 79
3.8
Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . .. . . 81
3.9
Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 83
3.10
Indications pour la résolution des exercices . . . . .. . . 86
4 Champs de vecteurs et feuilletages-----------92
4.1
Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 92
4.2
Opérations sur les champs de vecteurs . . . . . .. . . . . . . 93
4.3 Flot
local d’un champ de vecteurs . . . . . . . .. . . . . . 96
4.4
Dérivations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 99
4.5
Dérivations et champs de vecteurs . . . . . .. . . 101
4.6
Crochets de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7
Champs de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8
Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9
Théorème de Frobénius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10
Autres exercices . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 114
4.11
Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . .125
5 Groupes de Lie et espaces homogènes---------------155
5.1
Groupes de Lie . . . . .. . . . . 155
5.2
Algèbres de Lie . . . . . .. . . . . . . . . 161
5.3
Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. . .. . . . . 163
5.4
Champs de vecteurs invariants . . . . .. . . . . . . 167
5.5
Application exponentielle . . . . . . . .. . . . . . . . . 169
5.6
Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . . . .173
5.7
Revêtements et groupes de Lie . . . .. . . 176
5.8
Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 185
5.9
Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 195
5.10 Indications pour la résolution des exercices . .
. . . . . . .204
6 Formes différentielles---------216
6.1
Formes différentielles . . . . . . . .. . . . . . . . 216
6.2
Cohomologie de de Rham . . . . . .. . . . . . . . 229
6.3
Intégration des formes différentielles . . . . . . . 247
6.4
Cohomologie à support compact . . . . . . .. . . . . . . . 258
6.5
Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 262
6.6
Théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 267
6.7
Autres exercices . . . . . . . . .. . . 277
6.8
Indications pour la résolution des exercices . . . .. . 290
A Annexes : rappels divers----316
A.1
Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 316
A.2
Rappels sur les actions de groupes . . .. . . . . . . . . 320
A.3
Rappels de calcul différentiel . . . . . . .. . . . . 322
A.4
Rappels sur les revêtements .. . . . . . . 327
A.5
Rappels d’algèbre multilinéaire . . . . . . .. . . . 332
A.6
Rappels d’algèbre homologique . .. . . . . 341
A.7 Indications
pour la résolution des exercices . . .. . 348
Index-------355
Bibliographie-------361
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